2098번: 외판원 순회

외판원 순회

 

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1 초

128 MB

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27.457%

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

 

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제 입력 1 복사

4
0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

예제 출력 1 복사

35

 

https://www.acmicpc.net/problem/2098

2098번: 외판원 순회

 

선생님 코드

#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_N 16
using namespace std;

const int INF = 987654321;
int n, dp[MAX_N][1<<MAX_N], dist[MAX_N][MAX_N];

int tsp(int here, int visited){
    if(visited==(1<<n)-1){ //모두 방문하면 출발점으로 돌아오는 거리 리턴
        return dist[here][0] ? dist[here][0] : INF;
    }
    //현재 경로 비용 저장되어있으면
    int &ret = dp[here][visited];
    if(ret!=-1) return ret; //값 있으면 리턴
    ret = INF; //최소값을 구하기 위해 INF로 설정
    for(int i=0;i<n;i++){ //n개의 도시 방문
        if(visited & (1<<i)) continue; //이미 방문했으면 
        if(dist[here][i]==0) continue; //거리가 없으면 continue
        ret = min(ret, tsp(i, visited|(1<<i)) + dist[here][i]);
    }
    return ret;
}
int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
    //1. 입력받기
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            cin >> dist[i][j]; //거리 입력받기 i->j
        }
    }
    //2. dp수행하기
    memset(dp, -1, sizeof(dp)); //초기화
    cout << tsp(0,1)<<"\n"; //회판원 순회 (0부터 시작)
}

 

• DP = 완전탐색+ 메모이제이션
• return 값이 있어야한다.
• 그냥 완전탐색으로 풀면 16!이 나오므로 dp로 풀자.
• dp[현재위치][방문한 도시 경로] , dist[시작도시][도착도시]

다시 정리해본 코드

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 987654321;
int n, a[18][18], dp[18][1<<18];

int go(int here, int visited){
    //방문 여부 확인
    if(visited==(1<<n)-1){
        return a[here][0]?a[here][0]:INF;
    }
    //메모이제이션 - 존재하는 값 여부 확인
    int &ret = dp[here][visited];
    if(ret!=-1) return ret;
    ret=INF;
    //이동하기
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(visited & (1<<i)) continue;
        if(a[here][i]==0) continue;
        ret = min(ret, go(i, visited|(1<<i)) + a[here][i]);
    }
    return ret;
}
int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
    //1. 입력받기
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    //2. dp 수행
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    cout << go(0,1) << "\n";
}

 

• dfs에서 dp라는 배열을 선언해서 값이 존재하는지 안하는지 여부를 확인하고 무조건 리턴한다.

주의할 점 

dfs라고 생각해서 4 방향으로 가는 것을 생각했는데, 이 도시의 길들은 그래프이기때문에 n개의 방향이 존재한다!

for(int i=0;i<n;i++){ //n개의 도시
        if(visited & (1<<i)) continue;
        if(a[here][i]==0) continue;
        ret = min(ret, go(i, visited|(1<<i)) + a[here][i]);
    }